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植物的神秘數字是上帝安排的和諧美?
來源: 本站原創   點擊數:2305   更新時間:2005-09-07

撲克牌上的“梅花”并非梅花,甚至不是花,而是三葉草。在西方歷史上,三葉草是一種很有象征意義的植物,據說第一葉代表希望,第二葉代表信心,第三葉代表愛情,而如果你找到了四葉的三葉草,就會交上好運,找到了幸福。在野外尋找四葉的三葉草,是西方兒童的一種游戲,不過很難找到,據估計,每一萬株三葉草,才會出現一株四葉的突變型。

  在中國,梅花有著類似的象征意義。民間傳說梅花五瓣代表著五福。民國把梅花定為國花,聲稱梅花五瓣象征五族共和,具有敦五倫、重五常、敷五教的意義。但是梅花有五枚花瓣并非獨特,事實上,花最常見的花瓣數目就是五枚,例如與梅同屬薔薇科的其他物種,像桃、李、櫻花、杏、蘋果、梨等等就都開五瓣花。常見的花瓣數還有:3枚,鳶尾花、百合花(看上去6枚,實際上是兩套3枚);8枚,飛燕草;13枚,瓜葉菊;向日葵的花瓣有的是21枚,有的是34枚;雛菊的花瓣有的是34、55或89枚。而其他數目花瓣的花則很少。為什么花瓣數目不是隨機分布的?3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89,...這些數目有什么特殊嗎?

  有的,它們是斐波納契數。斐波納契(1170-1240)是中世紀意大利數學家,他不是在數花瓣數目,而是在解一道關于兔子繁殖的問題時,得出了這個數列。假定你有一雄一雌一對剛出生的兔子,它們在長到一個月大小時開始交配,在第二月結束時,雌兔子產下另一對兔子,過了一個月后它們也開始繁殖,如此這般持續下去。每只雌兔在開始繁殖時每月都產下一對兔子,假定沒有兔子死亡,在一年后總共會有多少對兔子?

  在一月底,最初的一對兔子交配,但是還只有1對兔子;在二月底,雌兔產下一對兔子,共有2對兔子;在三月底,最老的雌兔產下第二對兔子,共有3對兔子;在四月底,最老的雌兔產下第三對兔子,兩個月前生的雌兔產下一對兔子,共有5對兔子;……如此這般計算下去,兔子對數分別是:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, 144, ...看出規律了嗎?從第3個數目開始,每個數目都是前面兩個數目之和。

  植物似乎對斐波納契數著了迷。不僅花,還有葉、枝條、果實、種子等等形態特征,都可發現斐波納契數。葉序是指葉子在莖上的排列方式,最常見的是互生葉序,即在每個節上只生1葉,交互而生。任意取一個葉子做為起點,向上用線連接各個葉子的著生點,可以發現這是一條螺旋線,盤旋而上,直到上方另一片葉子的著生點恰好與起點葉的著生點重合,做為終點。從起點葉到終點葉之間的螺旋線繞莖周數,稱為葉序周。不同種植物的葉序周可能不同,之間的葉數也可能不同。例如榆,葉序周為1(即繞莖1周),有2葉;桑,葉序周為1,有3葉;桃,葉序周為2,有5葉;梨,葉序周為3,有8葉;杏,葉序周為5,有13葉;松,葉序周為8,有21葉……用公式表示(繞莖的周數為分子,葉數為分母),分別為1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, ……這些是最常見的葉序公式,據估計大約有90%植物屬于這類葉序,而它們全都是由斐波納契數組成的。

  你如果觀察向日葵的花盤,會發現其種子排列組成了兩組相嵌在一起的螺旋線,一是順時針方向,一組是逆時針方向。再數數這些螺旋線的數目,雖然不同品種的向日葵會有所不同,但是這兩組螺旋線的數目一般是34和55、55和89或89和144,其中前一個數字是順時針線數,后一個數字是逆時針線數,而每組數字都是斐波納契數列中相鄰的兩個數。再看看菠蘿、松果上的鱗片排列,雖然不像向日葵花盤那么復雜,也存在類似的兩組螺旋線,其數目通常是8和13。有時候這種螺旋線不是那么明顯,需要仔細觀察才會注意到,例如花菜。如果你拿一顆花菜認真研究一下,會發現花菜上的小花排列也形成了兩組螺旋線,再數數螺旋線的數目,是不是也是相鄰的兩個斐波納契數,例如順時針5條,逆時針8條?掰下一朵小花下來再仔細觀察,它實際上是由更小的小花組成的,而且也排列成了兩條螺旋線,其數目也是相鄰的兩個斐波納契數。

  為什么植物如此偏愛斐波納契數?這和另一個更古老的、早在古希臘就被人們注意到甚至去崇拜它的另外一個“神秘”數字有關。假定有一個數φ,它有如下有趣的數學關系:

  φ^2 - φ^1 -φ^0 =0

  即:φ^2 -φ -1 =0

  解這個方程,有兩個解:

  (1 + √5) / 2 = 1.6180339887...

  (1 - √5) / 2 = - 0.6180339887...

  注意這兩個數的小數部分是完全相同的。正數解(1.6180339887...)被稱為黃金數或黃金比率,通常用φ表示。這是一個無理數(小數無限不循環,沒法用分數來表示),而且是最無理的無理數。同樣是無理數,圓周率π用22/7,自然常數e用19/7,√2用7/5就可以很精確地近似表示出來,而φ則不可能用分母為個位數的分數做精確的有理近似。

  黃金數有一些奇妙的數學性質。它的倒數恰好等于它的小數部分,也即1/φ = φ-1,有時這個倒數也被稱為黃金數、黃金比率。如果把一條直線AB用C點分割,讓AB/AC= AC/CB,那么這個比等于黃金數,C點被稱為黃金分割點。如果一個等腰三角形的頂角是36度,那么它的高與底線的比等于黃金數,這樣的三角形稱為黃金三角形。如果一個矩形的長寬比是黃金數,那么從這個矩形切割掉一個邊長為其寬的正方形,剩下的小矩形的長寬比還是黃金數。這樣的矩形稱為黃金矩形,它可以用上述的方法無限切割下去,得到一個個越來越小的黃金矩形,而如果把這些黃金矩形的對角用弧線連接起來,則形成了一個對數曲線。常見的報紙、雜志、書、紙張、身份證、信用卡用的形狀都接近于黃金矩形,據說這種形狀讓人看上去很舒服。的確,在我們的生活中,黃金數無處不在,建筑、藝術品、日常用品在設計上都喜歡用到它,因為它讓我們感到美與和諧。

  那么黃金數究竟和斐波納契數有什么關系呢?根據上面的方程:

  φ^2 -φ -1 =0,

  可得:

  φ = 1 + 1/φ 

  = 1 + 1/ (1 + 1/φ) 

  = ... 

  = 1 + 1/( 1 + 1/( 1 + 1/( 1 +...))) 

  根據上面的公式,你可以用計算器如此計算φ:輸入1,取倒數,加1,和取倒數,加1,和取倒數,……,你會發現總和越來越接近φ。讓我們用分數和小數來表示上面的逼近步驟:

  φ ≈ 1 

  φ ≈ 1 + 1/1 = 2/1 = 2

  φ ≈ 1 + 1/(1+1/1) = 3/2 = 1.5

  φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+1)) = 5/3 = 1.666667

  φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+1))) = 8/5 = 1.6

  φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+1)))) = 13/8 = 1.625

  φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+1))))) = 21/13 = 1.615385

  φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+1)))))) = 34/21 = 1.619048

  φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+(1+1))))))) = 55/34 = 1.617647

  φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+(1+(1+1)))))))) = 89/55 = 1.618182...

  發現了沒有?以上分數的分子、分母都是相鄰的斐波納契數。原來相鄰兩個斐波納契數的比近似等于φ,數目越大,則越接近,當無窮大時,其比就等于φ。斐波納契數與黃金數是密切聯系在一起的。植物喜愛斐波納契數,實際上是喜愛黃金數。這是為什么呢?莫非冥冥之中有什么安排,是上帝想讓世界充滿了美與和諧?

  植物的枝條、葉子和花瓣有相同的起源,都是從莖尖的分生組織依次出芽、分化而來的。新芽生長的方向與前面一個芽的方向不同,旋轉了一個固定的角度。如果要充分地利用生長空間,新芽的生長方向應該與舊芽離得盡可能的遠。那么這個最佳角度是多少呢?我們可以把這個角度寫成360°×n,其中0<n <1,由于左右各有一個角度是一樣的(只是旋轉的方向不同),例如n=0.4和n=0.6實際上結果相同,因此我們只需考慮 0.5≤n<1的情況。如果新芽要與前一個舊芽離得盡量遠,應長到其對側,即n = 0.5 =1/2,但是這樣的話第2個新芽與舊芽同方向,第3個新芽與第1個新芽同方向,……,也就是說,僅繞1周就出現了重疊,而且總共只有兩個生長方向,中間的空間都浪費了。如果0.6 = 3/5 呢?繞3周就出現重疊,而且總共也只有5個方向。事實上,如果n是個真分數 p/q,則意味著繞p周就出現重疊,共有q個生長方向。

  顯然,如果n是沒法用分數表示的無理數,就會“有理”得多。選什么樣的無理數呢?圓周率π、自然常數e和√2都不是很好的選擇,因為它們的小數部分分別與1/7,5/7和2/5非常接近,也就是分別繞1, 5和2周就出現重疊,分別總共只有7, 7和5個方向。所以結論是,越是無理的無理數越好,越“有理”。我們在前面已經提到,最無理的無理數,就是黃金數φ≈1.618。也就是說,n的最佳值≈0.618,即新芽的最佳旋轉角度大約是360°×0.618 ≈ 222.5°或 137.5°。

  前面已提到,最常見的葉序為1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13和8/21,表示的是相鄰兩葉所成的角度(稱為開度),如果我們要把它們換算成
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